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高中数学教案(精选多篇)

发布时间:2015-02-12 作者:小编 点击:加入收藏

第一篇:高中数学教案

高中数学教案:高一数学《等差数列的前n项和》教学设计方

时间:2014-12-3 13:14:45 点击:672 【大 中 小】

教学目标

1.掌握等差数列前 项和的公式,并能运用公式解决简单的问题.

(1)了解等差数列前 项和的定义,了解逆项相加的原理,理解等差数列前 项和公式推导的过程,记忆公式的两种形式;

(2)用方程思想认识等差数列前 项和的公式,利用公式求 ;等差数列通项公式与前 项和的公式两套公式涉及五个字母,已知其中三个量求另两个值;

(3)会利用等差数列通项公式与前 项和的公式研究 的最值.

2.通过公式的推导和公式的运用,使学生体会从特殊到一般,再从一般到特殊的思维规律,初步形成认识问题,解决问题的一般思路和方法.

3.通过公式推导的过程教学,对学生进行思维灵活性与广阔性的训练,发展学生的思维水平.

4.通过公式的推导过程,展现数学中的对称美;通过有关内容在实际生活中的应用,使学生再一次感受数学源于生活,又服务于生活的实用性,引导学生要善于观察生活,从生活中发现问题,并数学地解决问题.

教学建议

(1)知识结构

本节内容是等差数列前 项和公式的推导和应用,首先通过具体的例子给出了求等差数列前 项和的思路,而后导出了一般的公式,并加以应用;再与等差数列通项公式组成方程组,共同运用,解决有关问题.

(2)重点、难点分析

教学重点是等差数列前 项和公式的推导和应用,难点是公式推导的思路.

推导过程的展示体现了人类解决问题的一般思路,即从特殊问题的解决中提炼一般方法,再

试图运用这一方法解决一般情况,所以推导公式的过程中所蕴含的思想方法比公式本身更为重要.等差数列前 项和公式有两种形式,应根据条件选择适当的形式进行计算;另外反用公式、变用公式、前 项和公式与通项公式的综合运用体现了方程(组)思想.

高斯算法表现了大数学家的智慧和巧思,对一般学生来说有很大难度,但大多数学生都听说过这个故事,所以难点在于一般等差数列求和的思路上.

(3)教法建议

①本节内容分为两课时,一节为公式推导及简单应用,一节侧重于通项公式与前 项和公式综合运用.

②前 项和公式的推导,建议由具体问题引入,使学生体会问题源于生活.

③强调从特殊到一般,再从一般到特殊的思考方法与研究方法.

④补充等差数列前 项和的最大值、最小值问题.

⑤用梯形面积公式记忆等差数列前 项和公式.

等差数列的前项和公式教学设计示例

教学目标

1.通过教学使学生理解等差数列的前 项和公式的推导过程,并能用公式解决简单的问题.

2.通过公式推导的教学使学生进一步体会从特殊到一般,再从一般到特殊的思想方法,通过公式的运用体会方程的思想.

教学重点,难点

教学重点是等差数列的前 项和公式的推导和应用,难点是获得推导公式的思路. 教学用具

实物投影仪,多媒体软件,电脑.

教学方法

讲授法.

教学过程

一.新课引入

提出问题(播放媒体资料):一个堆放铅笔的v形架的最下面一层放一支铅笔,往上每一层都比它下面一层多放一支,最上面一层放100支.这个v形架上共放着多少支铅笔?(课件设计见课件展示)

问题就是(板书)“ ”

这是小学时就知道的一个故事,高斯的算法非常高明,回忆他是怎样算的.(由一名学生回答,再由学生讨论其高明之处)高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组,第一个数与最后一个数一组,第二个数与倒数第二个数一组,第三个数与倒数第三个数一组,?,每组数的和均相等,都等于101,50个101就等于5050了.高斯算法将加法问题转化为乘法运算,迅速准确得到了结果.

我们希望求一般的等差数列的和,高斯算法对我们有何启发?

二.讲解新课

(板书)等差数列前 项和公式

1.公式推导(板书)

问题(幻灯片):设等差数列 的首项为 ,公差为 , 由学生讨论,研究高斯算法对一般等差数列求和的指导意义.

思路一:运用基本量思想,将各项用 和 表示,得

,有以下等式

,问题是一共有多少个 ,似乎与 的奇偶有关.这个思路似乎进行不下去了.

思路二:

上面的等式其实就是 ,为回避个数问题,做一个改写 , ,两式左右分别相加,得

于是有: .这就是倒序相加法.

思路三:受思路二的启发,重新调整思路一,可得 ,于是 .

于是得到了两个公式(投影片): 和 .

2.公式记忆

用梯形面积公式记忆等差数列前 项和公式,这里对图形进行了割、补两种处理,对应着等差数列前 项和的两个公式.

3.公式的应用

公式中含有四个量,运用方程的思想,知三求一.

例1.求和:(1) ;

(2) (结果用 表示)

解题的关键是数清项数,小结数项数的方法.

例2.等差数列 中前多少项的和是9900?

本题实质是反用公式,解一个关于 的一元二次函数,注意得到的项数 必须是正整数.

三.小结

1.推导等差数列前 项和公式的思路;

2.公式的应用中的数学思想.

四.板书设计

第二篇:初高中数学教案

排列与组合

一、教学目标

1、知识传授目标:正确理解和掌握加法原理和乘法原理

2、能力培养目标:能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题

3、思想教育目标:发展学生的思维能力,培养学生分析问题和解决问题的能力

二、教材分析

1.重点:加法原理,乘法原理。 解决方法:利用简单的举例得到一般的结论.

2.难点:加法原理,乘法原理的区分。解决方法:运用对比的方法比较它们的异同.

三、活动设计

1.活动:思考,讨论,对比,练习.

2.教具:多媒体课件.

四、教学过程正

1.新课导入

随着社会发展,先进技术,使得各种问题解决方法多样化,高标准严要求,使得商品生产工序复杂化,解决一件事常常有多种方法完成,或几个过程才能完成。 排列组合这一章都是讨论简单的计数问题,而排列、组合的基础就是基本原理,用好基本原理是排列组合的关键.

2.新课

我们先看下面两个问题.

(l)从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车,还可以乘轮船.一天中,火车有4班,汽车有 2班,轮船有 3班,问一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?

板书:图

因为一天中乘火车有4种走法,乘汽车有2种走法,乘轮船有3种走法,每一种走法都可以从甲地到达乙地,因此,一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有 4十2十3=9种不同的走法.

一般地,有如下原理:

加法原理:做一件事,完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法,……,

在第n类办法中有mn种不同的方法.那么完成这件事共有n=m1十m2十…十mn种不同的方法.

(2) 我们再看下面的问题:

由a村去b村的道路有3条,由b村去c村的道路有2条.从a村经b村去c村,共有多少种不同的走法?

板书:图

这里,从a村到b村有3种不同的走法,按这3种走法中的每一

种走法到达b村后,再从b村到c村又有2种不同的走法.因此,从a村经b村去c村共有 3x2=6种不同的走法.

一般地,有如下原理:

乘法原理:做一件事,完成它需要分成n个步骤,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,……,做第n步有

mn种不同的方法.那么完成这件事共有n=m1 m2…mn种不同的方法.

例1 书架上层放有6本不同的数学书,下层放有5本不同的语文书.

1)从中任取一本,有多少种不同的取法?

2)从中任取数学书与语文书各一本,有多少的取法?

解:(1)从书架上任取一本书,有两类办法:第一类办法是从上层取数学书,可以从6本书中任取一本,有6种方法;第二类办法是从下层取语文书,可以从5本书中任取一本,有5种方法.根据加法原理,得到不同的取法的种数是6十5=11.

答:从书架l任取一本书,有11种不同的取法.

(2)从书架上任取数学书与语文书各一本,可以分成两个步骤完成:第一步取一本数学书,有6种方法;第二步取一本语文书,有5种方法.根据乘法原理,得到不同的取法的种数是 n=6x5=30.

答:从书架上取数学书与语文书各一本,有30种不同的方法. 练习:一同学有4枚明朝不同古币和6枚清朝不同古币

1)从中任取一枚,有多少种不同取法?2)从中任取明清古币各一枚,有多少种不同取法?

例2:(1)由数字l,2,3,4,5可以组成多少个数字允许重复三位数?

(2)由数字l,2,3,4,5可以组成多少个数字不允许重复三位数?

(3)由数字0,l,2,3,4,5可以组成多少个数字不允许重复三位数?

解:要组成一个三位数可以分成三个步骤完成:第一步确定百位上的数字,从5个数字中任选一个数字,共有5种选法;第二步确定十位上的数字,由于数字允许重复,

这仍有5种选法,第三步确定个位上的数字,同理,它也有5种选法.根据乘法原理,得到可以组成的三位数的个数是n=5x5x5=125.

答:可以组成125个三位数.

练习:

1、从甲地到乙地有2条陆路可走,从乙地到丙地有3条陆路可走,又从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走.

(1)从甲地经乙地到丙地有多少种不同的走法?

(2)从甲地到丙地共有多少种不同的走法?

2.一名儿童做加法游戏.在一个红口袋中装着2o张分别标有数1、2、…、19、20的红卡片,从中任抽一张,把上面的数作为被加数;在另一个黄口袋中装着10张分别标有数1、2、…、9、1o的黄卡片,从中任抽一张,把上面的数作为加数.这名儿童一共可以列出

多少个加法式子?

3.由0-9这10个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数? 小结:要解决某个此类问题,首先要判断是分类,还是分步?分类时用加法,分步时用乘法

其次要注意怎样分类和分步,以后会进一步学习

练习与作业

1.(口答)一件工作可以用两种方法完成.有 5人会用第一种方法完成,另有4人会用第二种方法完成.选出一个人来完成这件工作,共有多少种选法?

2.在读书活动中,一个学生要从 2本科技书、 2本政治书、3本文艺书里任选一本,共有多少种不同的选法?

3.乘积(a1+a2+a3)(b1+b2+b3+b4)(c1+c2+c3+c4+c5)展开后共有多少项?

4.从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路可通;从甲地到丁地有4条路可通,从丁地到丙地有2条路可通.从甲地到丙地共有多少种不同的走法?

5.一个口袋内装有5个小球,另一个口袋内装有4个小球,所有这些小球的颜色互不相同.

(1)从两个口袋内任取一个小球,有多少种不同的取法?

(2)从两个口袋内各取一个小球,有多少种不同的取法?

第三篇:高中数学教案23

第二十三教时

教材: 充要条件(1)

目的: 通过实例要求学生理解充分条件、必要条件、充要条件的意义,并能够初步判断给定的两个命题之间的关系。 过程:

一、复习:写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假:

1) 若x>0则x2>0;2) 若两个三角形全等,则两三角形的面积相等;

3) 等腰三角形两底角相等; 4) 若x2=y2则 x=y。

(解答略)

二、给出推断符号,紧接着给出充分条件、必要条件、充要条件的意义

1.由上例一: 由x>0,经过推理可得出x2>0

记作:x>0 ? x2>0表示x>0是x2>0的充分条件

即: 只要x>0成立 x2>0就一定成立x>0蕴含着x2>0;

同样表示:x2>0是x>0的必要条件。

一般:若p则q, 记作p?q 其中p是q的充分条件, q是p的必要条件

显然:x2>0 x>0 我们说x2>0不是x>0的充分条件

x>0也不是x2>0的必要条件

由上例二: 两个三角形全等 ? 两个三角形面积相等

显然, 逆命题两个三角形面积相等两个三角形全等

∴我们说: 两个三角形全等是两个三角形面积相等的充分不必要条件

两个三角形面积相等是两个三角形全等的必要不充分条件

由上例三: 三角形为等腰三角形 ? 三角形两底角相等

我们说三角形为等腰三角形是三角形两底角相等的充分且必要条件,这种既充分又必要条件,称为充要条件。由上例四:显然 x2=y2 ?x=y

x2=y2 是x=y的必要不充分条件;x=y 是x2=y2的充分不必要条件。

三、小结: 要判断两个命题之间的关系,关键是用什么样的推断符号把两个命题联结起来。

四、例一:(课本p34例一)

例二:(课本p35-36 例二)

练习 p35 、p36

五、作业:p36-37习题1.8

第四篇:高中数学教案

高中数学教案:不等式的证明

教学目标

1。掌握分析法证明不等式;

2。理解分析法实质——执果索因;

3。提高证明不等式证法灵活性.

教学重点 分析法

教学难点 分析法实质的理解

教学方法 启发引导式

教学活动

(一)导入新课

(教师活动)教师提出问题,待学生回答和思考后点评。

(学生活动)回答和思考教师提出的问题。

[问题1]我们已经学习了哪几种不等式的证明方法?什么是比较法?什么是综合法? [问题 2]能否用比较法或综合法证明不等式:

[点评]在证明不等式时,若用比较法或综合法难以下手时,可采用另一种证明方法:分析法。(板书课题)

设计意图:复习已学证明不等式的方法。指出用比较法和综合法证明不等式的不足之处, 激发学生学习新的证明不等式知识的积极性,导入本节课学习内容:用分析法证明不等式。

(二)新课讲授

【尝试探索、建立新知】

(教师活动)教师讲解综合法证明不等式的逻辑关系,然后提出问题供学生研究,并点评。帮助学生建立分析法证明不等式的知识体系。投影分析法证明不等式的概念。

(学生活动)与教师一道分析综合法的逻辑关系,在教师启发、引导下尝试探索,构建新知。

[讲解]综合法证明不等式的逻辑关系:以已知条件中的不等式或基本不等式作为结论,逐步寻找它成立的必要条件,直到必要条件就是要证明的不等式。

[问题1]我们能不能用同样的思考问题的方式,把要证明的不等式作为结论,逐步去寻找它成立的充分条件呢?bet365备用器

[问题2]当我们寻找的充分条件已经是成立的不等式时,说明了什么呢?

[问题3]说明要证明的不等式成立的理由是什么呢?

[点评]从要证明的结论入手,逆求使它成立的充分条件,直到充分条件显然成立为止,从而得出要证明的结论成立。就是分析法的逻辑关系。

[投影]分析法证明不等式的概念。(见课本)

设计意图:对比综合法的逻辑关系,教师层层设置问题,激发学生积极思考、研究。建立新的知识;分析法证明不等式。培养学习创新意识。

【例题示范、学会应用】

(教师活动)教师板书或投影例题,引导学生研究问题,构思证题方法,学会用分析法证明不等式,并点评用分析法证明不等式必须注意的问题。

(学生活动)学生在教师引导下,研究问题,与教师一道完成问题的论证。

例1 求证

[分析]此题用比较法和综合法都很难入手,应考虑用分析法。

证明:(见课本)

[点评]证明某些含有根式的不等式时,用综合法比较困难。此例中,我们很难想到从“ ”入手,因此,在不等式的证明中,分析法占有重要的位置,我们常用分析法探索证明途径,然后用综合法的形式写出证明过程,这是(推荐打开范文网:Www.haOWoRd.COM)解决数学问题的一种重要思维方法,事实上,有些

综合法的表述正是建立在分析法思索的基础上,分析法的优越性正体现在此。

例2 已知: ,求证: (用分析法)请思考下列证法有没有错误?若有错误,错在何处? [投影]证法一:因为 ,所以 、去分母,化为 ,就是 。由已知 成立,所以求证的不等式成立。

证法二:欲证 ,因为 只需证 , 即证 , 即证

因为 成立,所以 成立。(证法二正确,证法一错误。错误的原因是:虽然是从结论出发,但不是逐步逆战结论成立的充分条件,事实上找到明显成立的不等式是结论的必要条件,所以不符合分析法的逻辑原理,犯了逻辑上的错误。) [点评]①用分析法证明不等式的逻辑关系是:

(结论)(步步寻找不等式成立的充分条件)(结论)

分析法是“执果索因”,它与综合法的证明过程(由因导果)恰恰相反。②用分析法证明时要注意书写格式。分析法论证“若a则b”这个命题的书写格式是: 要证命题b为真,

只需证明 为真,从而有??

这只需证明 为真,从而又有?? ??

这只需证明a为真。

而已知a为真,故命题b必为真。 要理解上述格式中蕴含的逻辑关系。

[投影] 例3 证明:通过水管放水,当流速相同时,如果水管截面(指横截面,下同)的周长相等,那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大。

[分析]设未知数,列方程,因为当水的流速相同时,水管的流量取决于水管截面面积的大小,设截面的周长为 ,则周长为 的圆的半径为 ,截面积为 ;周长为 的正方形边长为 ,截面积为 ,所以本题只需证明:

证明:(见课本)

设计意图:理解分析法与综合法的内在联系,说明分析法在证明不等式中的重要地位。掌 握分析法证明不等式,特别重视分析法证题格式及格式中蕴含的逻辑关系。灵活掌握分析法的应用,培养学生应用数学知识解决实际问题的能力。 【课堂练习】bet365备用bd

(教师活动)打出字幕(练习),请甲、乙两位同学板演,巡视学生的解题情况,对正确的证法给予肯定,对偏差及时纠正。点评练习中存在的问题。 (学生活动)在笔记本上完成练习,甲、乙两位同学板演。 【字幕】练习1。求证

2。求证:

设计意图:掌握用分析法证明不等式,反馈课堂效果,调节课堂教学。 【分析归纳、小结解法】

(教师活动)分析归纳例题和练习的解题过程,小给用分析法证明不等式的解题方法。 (学生活动)与教师一道分析归纳,小结解题方法,并记录笔记。

1。分析法是证明不等式的一种常用基本方法。当证题不知从何入手时,有时可以运用分析法而获得解决,特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更是行之有效的。

2。用分析法证明不等式时,要正确运用不等式的性质逆找充分条件,注意分析法的证题格式。

设计意图:培养学生分析归纳问题的能力,掌握分析法证明不等式的方法。 (三)小结

(教师活动)教师小结本节课所学的知识。 (学生活动)与教师一道小结,并记录笔记。

本节课主要学习了用分析法证明不等式。应用分析法证明不等式时,掌握一些常用技巧: 通分、约分、多项式乘法、因式分解、去分母,两边乘方、开方等。在使用这些技巧变形时,要注意遵循不等式的性质。另外还要适当掌握指数、对数的性质、三角公式在逆推中的灵活运用。理解分析法和综合法是对立统一的两个方面。有时可以用分析法思索,而用综合法书写证明,或者分析法、综合法相结合,共同完成证明过程。

设计意图:培养学生对所学知识进行概括归纳的能力,巩固所学知识。 (四)布置作业

1。课本作业:p17 4、5。

2。思考题:若 ,求证

3。研究性题:已知函数 , ,若 、 ,且 证明

设计意图:思考题供学有余力同学练习,研究性题供学生研究分析法证明有关问题。 (五)课后点评

教学过程是不断发现问题、解决问题的思维过程。本节课在形成分析法证明不等式认知结构中,教师提出问题或引导学生发现问题,然后开拓学生思路,启迪学生智慧,求得问题解决。一个问题解决后,及时地提出新问题,提高学生的思维层次,逐步由特殊到一般,由具体到抽象,由表面到本质,把学生的思维步步引向深入,直到完成本节课的教学任务。总之,本节课的教学安排是让学生的思维由问题开始,到问题深化,始终处于积极主动状态。本节课练中有讲,讲中有练,讲练结合。在讲与练的互相作用下,使学生的思维逐步深化。教师提出的问题和例题,先由学生自己研究,然后教师分析与概括。在教师讲解中,又不断让学生练习,力求在练习中加深理解,尽量改变课堂上教师包括办代替的做法。

在安排本节课教学内容时,按认识规律,由浅入深,由易及难,逐渐展开教学内容,让学生形成有序的知识结构。 作业答案: 思考题:

。因为 ,故 ,所以 成立。 研究性题:令 , ,则: , ,

故原不等式等价于

由已知有 。 。所以上式等价于 ,即 。所以又等价于 。因为 ,上式成立,所以原不等式成立。

不等式的实际解释

题目:不等式: 是正数,且 ,则 。可以给出一个具有实际背景的解释:在溶液里加溶质则浓度增加,即个单位溶液中含有 个单位的溶质,其浓度小于加入 个单位溶质后的溶液浓度,请你仿照此例,给出两个不等式的解释。 分析与解

1。先看问题中的不等式,建筑学规定,民用住宅的窗户面积必须小于地板面积,但按采光标准,窗户面积与地板面积的比值应不小于10%,并且这个比值越大,住宅的采光条件越好。

我们知道如果同时增加相等的窗户面积和地板面积,那么住宅的条件变好。

设地板面积为 平方米,窗户面积为 平方米,若窗户面积和地板面积同时增加相等的 平方米,住宅的采光条件变好了,即有

2。 是正数,不等式 可以推出 ,我们可以用混合溶液来解释:两个不同浓度的溶液混合后,其浓度介于混合前两溶液浓度之间。

3。电阻串并联。电阻值为 、 的电阻,串联电阻为 ,并联电阻为 ,串联电阻变大,并联电阻变小,因此有不等式 ,即

说明 许多数学结论是由实际问题抽象为数学问题后,通过数学的运算演变得到的。反过来,把抽象的数学结论还原为实际解释也是一种数学运用,值得大家关注。

第五篇:高中数学教案全集

【中学数学教案】

高中数学教案全集

第三章教案090801戴亨钊张青春

一、考纲要求:

1. 事件与概率

(1) 了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义,了解频率与概率的区别。

(2) 了解两个互斥事件的概率加法公式。

2. 古典概型

(1) 理解古典概型及其概率计算公式。

(2) 会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率。

3. 随机数与几何概型

(1) 了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率。

(2) 了解几何概型的意义。

二、命题趋势

由于概率统计知识与实际生活密切相关,预计在以后的高考题中将越来越受重视,除以传统的选择题,填空题出现外,解答题也会出现。在实际应用于求概率等问题,主要考查学生的动手能力,分析能力及对基础知识的运用能力。

高考中本章试题难度不大,但考试遇到新题时大多数同学觉得很困难,所以,平时应该把常见的各种题型都练习到,各种类型的解法都掌握住,考试时以不变应万变。

(1) 以中低难度为主,在复习中主要以基础知识的内容为主,不应做偏题,难题。 (2) 把古典概型和几何概型作为复习的重点。

(3) 应注意培养自身利用概率知识对实际问题进行分析的能力。 三、基础知识,点式突破 知识点1随机现象 (1) 随机现象 ① 必然现象:在一定条件下必然发生的现象。如“地球每天绕太阳转动”为必然现象。 ② 随机现象:在一定条件下多次观察同一现象,每次观察到的结果不一定相同。如“某射击运动员每一次射击命中的环数”为随机现象。

(2) 实验及实验结果

为了探索随机现象的规律性,需要对随机现象进行观察,我们把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为实验。把观察结果或实验结果称为实验结果。

(3) 随机试验

条件每实现一次,叫做进行一次实验,如果实验结果事先无法确定,并且可以重复进行,这种实验就叫做随机实验。如“从盛有3个排球,2个足球的框子里任取一球,取得排球的事件中,取出一球(不管是排球还是足球)就是一次实验。若把5个球全部取出,则做了5次试验。

知识点2事件与基本事件空间

(1) 必然事件:我们把在条件s下,一定会发的事件,叫做相对于条件s的必然事件。简称必然事件。

比如,“导体通电时发热”,“抛一石块,下落”等都是必然事件。

(2) 不可能事件:在条件s下,一定不会发生的事件,叫做相对于条s的不可能事件,简称不可能事件。必然“在标准大气压下温度低于0冰融化”,在常温常压下,铁融化“等都是不可能事件。

(3) 确定事件:必然事件和不可能事件统称为相对于条件s的确定事件,简称确定事件。 (4) 随机事件:在条件s下可能发生也可能不发生的事件的随机事件,简称随机事件。 比如:“李强射击一次,不中靶”,“掷一枚银币出现反面”都是随机事件。

注意:要搞清楚随机现象和随机事件之间的关系。随机现象是随机事件产生的原因,随机事件是随机现象的可能结果,是随机现象的反映。

(5) 事件及其表示方法:确定事件和随机事件称为事件,一般用大写字母a,b,c表示。 (6) 基本事件:在试验中不能再分的最简单的随机事件,其他事件可以用他们来表示,这样的事件称为基本事件。

(7) 基本事件空间:所有基本事件构成的集合称为基本事件空间,基本事件空间常用?表示 知识点3频率与概率 1.频率与概率

(1) 频数与频率:在相同的条件s下重复n次试验,观察某一事件a是否出现,称n次试验中事件a出现的次数na为事件a出现的频数;称事件a出现的比例fn(a)=率

(2) 概率及其记法:对于给定的随机事件a,如果随着试验次数的增加,事件a发生的频率fn(a)稳定在某个常数上,把这个常数记作p(a),称为事件a的概率。

(3) 频率与概率的区别与联系 ① 频率本身是随机的,在试验前不能确定。做同样次数的重复试验得到事件的频率会不同。

② 概率是一个确定的数,与每次试验无关。是用来度量事件发生可能性大小的量。 ③ 频率是概率的近似值,随着试验次数的增加,频率会越来越接近概率。 2随机事件的概率p(a)的范围

对于任何事件的概率的范围是:0≤p(a)≤1

nan

为事件a出现的概

其中不可能事件的概率是p(a)=0,必然事件的概率是p(a)=1 不可能事件与必然事件是一般事件的特殊情况 知识点4概率的加法公式 (1) 互斥事件 ① 定义:不可能同时发生的两个事件即事件a发生,事件b不发生;事件b发生,事件a不发生叫做互斥事件(或称不相容事件)

② 从集合角度看,记事件a为集合a,事件b为集合b,若事件a与事件b是互斥事件,则集合a与集合b 交集为空集。

③ 推广:如果事件a1,a2,an中任何两个都互斥,就称事件a1,a2,an彼此互斥。从集合角度看n个事件彼此互斥是指各个事件所含结果的集合彼此互斥,

(2) 对立事件 ① 定义:不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件,事件a的对立事件

?

记作a

?

?

从集合的角度看,a和a所含结果组成的集合是全集中互为补集的两个集合,这时a和

?

?

?

a的交集是不可能事件,a和a的并集是必然事件,即a?a= ?, a?a?? (3) 互斥事件与对立事件的区别与联系 ① 两个对立事件一定是互斥事件,反之两个互斥事件不一定是对立事件。 ② 两个事件对立是两个事件互斥的充分非必要条件 ③ 两个事件互斥是两个事件对立的必要非充分条件。 (4) 事件的并(或和) ① 定义:由事件a和b至少有一个发生(即a发生或b发生或a,b都发生,称为事件a与b的并(或和)记作c?a?b

② 事件a与事件b的并集等于事件b与事件a的并集,即a?b=b?a ③ 并事件有三层含义:事件a发生,事件b不发生;事件b发生,事件a不发生;事件a与事件b都发生。

事件a与b的并集a?b可推广如下:“a1?a2???an”表示这样一个事件:在

同一实验中:a1,a2,?,an中至少有一个发生,即表示a1?a2???an发生。

(5) 互斥事件的概率加法公式

如果事件a,b互斥,那么a?b发生(即a,b中至少有一个发生)的概率等于事件a,b分别发生的概率的和,即p(a?b)=p(a)+p(b)

一般地,如果事件a1,a2,?,an两两互斥(彼此互斥)那么时事件

“a1?a2???an”发生(是指a1,a2,?,an至少有一个发生)的概率,等于这n个事件发生的概率和,即p(a1?a2???an)=p(a1)?p(a2)??p(an)

② 对立事件的概率公式

若事件a与b互为对立事件,则a?b为必然事件,所以p(a?b)=1,又 p(a?b)=p(a)+p(b),所以p(a)=1- p(b)

[说明]a.公式使用的前提必须是对立事件,否则不能使用此公式。

b.当一事件的概率不易直接求,但其对立事件的概率易求时,可运用此公式,即使用间接法求概率。

(6)概率的一般加法公式 ①交(积)事件

若某事件发生当且仅当事件a发生且事件b发生,则称此事件为事件a与事件b交事件(或称积事件),记作a?b(或ab)

a.用集合形式表示;

b.事件a与事件b的交事件等于事件b与事件a的交事件,即a?b=b?a

②概率的一般加法公式

设a,b是?的两个事件,则p(a?b)?p(a)?p(a)?p(a?b)

知识点5古典概型 1. 基本事件及其特点 (1) 基本事件的定义

实验结果是有限个,且每个事件都是随机事件的事件,称为基本事件。

注意: ①基本事件是实验中不能再分的最简单的随机事件,其他事件可以用他们来表示;

②所以的基本事件都有有限个; ③每个基本事件的发生都是等可能的

(2) 基本事件的特点 ① 任何两个基本事件是互斥的 ② 任何事件都可以表示成基本事件的和 2. 古典概型 (1) 古典概型的定义

我们把具有:①实验中所有可能出现的基本事件只有有限个;②每个基本事件出现的可能性相等。以上两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型。

(2) 古典概型是一种特殊的概率模型,其特征是: ① 有限性,在一次试验中,可能出现的结果只有有限个,即只有有限个不同的基本条件。 ② 等可能性,每个基本事件发生的可能性是均等的

[说明]一个实验是否为古典概型,在于这个实验是否具有古典概型的两个特征:有限性和等可能性。并不是所有的实验都是古典概型。

(3) 古典概率模型的概率求法

如果一次实验中的等可能基本事件共有n个,那么每一个等可能基本事件发生的概率都是,

n如果某个事件a包含了其中的m个等可能的基本事件,那么事件a发生的概率为p(a)=

mn

知识点6几何概型 (1) 几何概型的概念

事件a理解为区域?的某一子区域a,a的概率只与子区域a的几何度量(长度,面积或体积)成正比,而与a的位置和形状无关。满足以上条件的实验称为几何概型。

注意:①古典概型适用于所有实验结果是有限个且结果是等可能出现的情况,而几何概型则适用于实验结果是无穷多的情形。

③ 几何概型的特征:每个实验结果有无限多个,且全体结果可以用一个有度量的几何区域来表示;每次试验结果的各种结果是等可能的

(2) 几何概型的概率计算公式

在几何概型中,事件a的概率定义为:p(a)=

?a??

,其中??表示区域?的几何度量,?a表

示子区域a的几何度量。 (3) 古典概型与几何概型的区别

古典概型与几何概型要求基本事件发生的可能性都是相等的,但古典概型要求基本事件有有限个,几何概型要求事件有无限多个。

四例题分析

【例题1 】(1)单选题是标准化考试中常用的题型,一般是从a、b、c、d四个选项中选择一个正确答案,如果考生掌握了考查内容,他可以选择唯一正确的答案,假设考生不会做,他随机选择一个答案,问他答对的概率是多少?

(2)国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话,发现30min长的磁带上,从开始30s处起,有10s长的一段内容含两间谍犯罪的信息,后来发现,这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了,该工作人员声称他完全是无意中按错了键,使从此处起往后的所有内容都被擦掉了,那么由于按错键

使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大?

【分析】(1)中考生随机地选择一个答案是指选择a、b、c、d的可能性是相等的,且实验的可能结果只有4;选择a、选择b、选择c、选择d,基本事件共有4,是有限个,故该实验是古典概

m

型,基本事件个数为4个,答对只有一种结果,即m=1,n=4,可利用古典概率公式,求出事件的

n

概率。

(2)中工作人员在0min到30min之间的时间段内任一时刻按错键的可能性是相等的,且按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率只与从开始到谈话内容结束的时间长度有关,故该实验是几何概型。工作人员在0s-30s内任一时刻按错键,则含有犯罪内容的谈话会被全部擦掉,若在30s-40s内任一时刻按错键,则含有犯罪内容的谈话被部分擦掉,所以所求事件占的长度为40s,即

23

min,而整个长度为30min,可利用几何概型的概率公式p(a)=

?a??

,求得事件的概率。

【解析】(1)有古典概型的概率计算公式得: p(答对)=

答对所包含的基本事件

的个数

=

14

=0.25;

(2)设事件a“按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉”,事件a发生就是在0min到

23

min

时间段内按错键,所以?a=

23

min,??=30min,p(a)=

?a??

=

30

=

145

145

【答】(1)考生答对的概率为0.25;(2)按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率为

【例题2】(1)向假设的三个相邻的军火库投掷一颗炸弹,炸中第一个军火库的概率为0.025,炸中其余两个军火库的概率为0.1,只要炸中其中一个,另外两个也要发生爆炸,求军火库发生爆炸的概率。

(2)甲乙两人各射击一次,命中率各为0.8和0.5,两人同时命中的概率为0.4,求甲乙两人至少有一人命中的概率。

【分析】(1)中投掷的一颗炸弹,只要炸中了其中的一个军火库,其余也要发生爆炸,所以“军火库发生爆炸”这一事件,就是炸中第一、第二、第三个军火库这三个事件之和,且它们彼此互斥,由于是三个彼此互斥事件的并的概率,可利用公p(a?b?c)?p(a)?p(b)?p(c)求得(2)中至少有一人命中,可看成是甲命中和乙命中这两事件的并事件,但“甲命中”和“乙命中”可能会同时发生不是互斥事件,由于是求两个不互斥事件的概率,可利用一般的概率加法公式p(a?b)?p(a)?p(a)?p(a?b)求得

【解析】(1)设以a、b、c分别表示炸中第一、第二、第三个军火库这三个事件,于是

p(a)=0.025,p(b)=p(c)=0.1.设d表示军火库爆炸,则有d=a?b?c,由于a、b、c彼此互斥,?p(d)= p(a?b?c)?p(a)?p(b)?p(c)=0.025+0.1+0.1=0.225

(2)设事件a为“甲命中”,事件b为“乙命中”,则“甲、乙两人至少有一人命中”为事件a?b,所以p(a?b)?p(a)?p(a)?p(a?b)=0.8+0.5-0.4=0.9

【答】(1)甲乙两人至少有一人命中的概率0.225 (2)甲乙两人至少有一人命中的概率0.9

【例题3 】同时抛掷两个骰子(各个面上分别标有数1,2,3,4,5,6)求向上的数之积为偶数的概率。

【分析】每掷一个骰子都有6种情况,同时掷两个骰子总的结果数为n=6×6,由于每个结果出现的可能性都相等,所以是古典概型。关键是求“向上的数之积为偶数”这一事件所包含的结果数m,然后利用p(a)=

,即可求得概率,向上的数之积为偶数的情况比较多,可以先考虑其对立事件,n

即向上的数之积为奇数,向上的数之积为奇数的基本事件有(1,1)

m

,(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5),共9个,即m=9

【解析】基本事件空间?(x,y)?x?6,1?y?6,x?n?,y?n??共包含36个基本事件,设“向上的数之积为偶数”为事件a,则a为“向上的数之积为奇数”,a={(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5)}共包含9个事件,根据古典概型的概率公式可得

?

?

?

p(a)?

936

?

14

,由对立事件的性质知,1-p(a)=1-34

?

14

=

34

【答】向上的数之积为偶数的概率为

【小结】

在求等可能事件的概率时,一定要先根据事件的个数是否有限,判断该试验是古典概型还是几何概型。①对于古典概型试验概率的计算,关键是分清楚基本事件的个数n与事件a中包含的结果

m

数m,有时需用列举法把基本事件一一列举出来,在利用公式p(a)= 求出事件的概率,这是一

n

个比较直观的好方法,但列举时必须按某一顺序做到不重复,不遗漏;②对于几何概型试验概率的计算,关键是求得事件a所占的区域和整个区域的几何度量,然后代入公式即可求解。几何概型常用来解决与长度、面积、体积有关的问题。③互斥事件的概率加法公式仅适用于彼此互斥的事件的和(并)事件的概率求解,因此在应用公式之前,应先判断各个事件彼此是否互斥,若不互斥,则需要用一般概率加法公式。④利用对立事件概率公式解题

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