勾股定理教案

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正文

第一篇：《勾股定理》教案

学英语报社http://全新课标理念，优质课程资源 ·勾股定理

·教学目标

知识目标: 掌握勾股定理的几种证明方法，能够熟练地运用勾股定理由直角

三角形的任意两边求得第三边．

能力目标: 通过探究勾股定理的发现与证明，渗透数形结合的思想方法，增

强逻辑思维能力，操作探究能力和培养学生的探索精神和合作交

流的能力.

情感目标: 通过对勾股定理的探索，培养学生对数学问题孜孜以求的探究精

神和科学态度.通过了解我国古代在勾股定理研究方面的成就，

激发热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想感情．

·教学重点从具体的图形得出直角三角形的边与边的关系,探讨勾股定理的证

明与应用.

·教学难点勾股定理的证明，勾股定理在实际生活中的应用.

·教学方法启发、合作交流和直观演示.

·教学过程:

一、创设情境，引入新课

问题1: 随着社会的进步，人类的发展，人们渴望对地球以外的世界了

解更多.许多科学家正在试探着寻找“外星人”，人们为了取得与外星人的联系，想了很多方法.我国伟大数学家华罗庚教授也曾提出：若要沟通两个不同星球的信息交往，最好利用太空飞船带上一副数形关系图，并发射到太空中去.

⑴你知道这副图是什么吗？

⑵这副图蕴含了怎样的道理？

(目的:通过此情境的创设，能较快调动学生的学习兴趣，激发学生的探究欲望，为课程的学习创设了情绪准备.)

二、动手操作，初步体验

出示问题1中的数形关系图（如图1）：这副图是由一个

直角三角形和以直角三角形三边为边的三个正方形构成的.

直角三角形三边有怎样的关系，我们不妨从直角边分别

为3、4的特殊直角三角形开始研究.

请同学们在已经拿到的一张画有图1的纸上，量一量斜

边的长度，猜一猜三条边长的关系（目的：设计这个直角三角形的边长分别为：3，4，5.学生易

发现三边关系为32?42?52.通过学生的动手实践让学生初步体

验到：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.这样做也能

培养学生的操作能力，使学生体会到“数学好玩”.）

优课轩资源网http://未经授权，本站资源禁止用于任何商业目的第 1 页 共 6 页 图1

紧接着再问学生：我们是通过测量的方式发现了直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方或者说两小正方形的面积和大正方形的面积.这种做法往往并不可靠，我们能否证出两直角边为3、4的直角三角形斜边是5.

（目的：数学需要合情推理，但也要逻辑证明.通过此问题证明过程，关键是这里渗透了面积法的证明思想.）

三、自主探索、发现新知

为了解决好这个问题我们不妨把图19.2置于方格图中，计算大正方形的面积等于25.于是让学生计算大正方形的面积，但大正方形r的面积不易求出，可引导学生利用网格对大正方形尝试割或补两种方法解决.

1(3?4)2?4??3?4?25.方法一：将图2补成图3，则要求正方形的面积为：2

因此直角边分别为3、4的直角三角形斜边是5即32?42?52.

1方法二：将图2补成图4，则要求正方形的面积为：4??3?4?1?25.2

因此直角边分别为3、4直角三角形斜边是5即32?42?52.

（目的：在方格图中利用割补的思想通过计算面积的方法证明了直角边分别为3、4的直角三角形斜边是5即32?42?52.为探索一般的直角三角形也有两直角边的平方和等于斜边的平方以及证明它的成立做好铺垫.）

此时老师提出问题：对于这个直角三角形满足两直角边的平方和等于斜边的平方，那么对于任何一个直角三角形都有这种关系吗？

通过以上探索，相信有学生能用文字语言概括猜想出一般的结论：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.符号表示为a2?b2?c2（a、b是直角边，c是斜边.）.

教师要鼓励这位同学讲的好，敢于猜想是一种难能可贵的数学素养，这位同学用精确的语言叙述了直角三角形三边的关系，那么这一结论是否正确，怎样论证？

（目的：在学生的数学学习过程中，既要学会证明又要学会猜想；既要学会演绎推理又要学会合情推理.鼓励学生在讨论的基础上大胆猜想，能培养学生的探索创新精神.）

老师用多媒体将图2的方格线隐去得图5，设rt?acb直角边为a,b

及斜边

c，试证明a2?b2?c2.

通过与学生的合作交流，只要证明出斜边上的正方形的面积，等于两直角边上的正方形的面积和即可.有前面的证明过程，学生可以想到通过割补利用面积法进行证明.这个地方要留够充足的时间让学生讨论交流，证好的同学请上台来解释他是如何证明的.

方案一：，用三个与rt?acb一样的直角三角形将图5中斜边上的正方形补

1成图6，则s?c2?(a?b)2?4?ab.化简整理得到a2?b2?c2. 2

方案二：用三个与rt?acb一样的直角三角形将图5中斜边上的正方形割成

1图7，则s=c2?(a?b)2?4?ab.化简整理得到a2?b2?c2.

aa-b bc图7 图6

教师介绍：我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的称为股，斜边称为弦.图7称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作法时给出的.图19.2.8是在北京召开的2014

年国际数学家大会（icm－2014）的会标，其图案正是“弦图”，

它标志着中国古代的数学成就.

此时，教师极力夸赞学生已成功探索出5000多年前人类历史

上的一个重大发现，真是太伟大了！a2?b2?c2，

这就是赫赫有名的勾股定理（板书课题）.接着用多媒体展

示勾股定理的历史. 图19.2.8

勾股定理史话

勾股定理从被发现到现在已有五千年的历史.远在公元

前三千年的巴比伦人就知道和应用它了.我国古代也发现了

这个定理.据《周髀算经》记载，商高（公元前1120年）关

于勾股定理已有明确的认识，《周髀算经》中有商高答周公

的话：“勾广三，股修四，径隅五.”同书中还有另一位学者陈子（公元前六七世纪）与荣方（公元前六世纪）的一段对话：“求邪（斜）至日者，以日下为勾，日高为股，勾、股各自乘，并而开方除之，得邪至日”（如图所示），即

邪至日＝2＋股2.

这里陈子已不限于“三、四、五”的特殊情形，而是推广到一般情况了. 人们对勾股定理的认识，经历过一个从特殊到一般的过程，其特殊情况，在世界很多地区的现存文献中都有记载，很难区分这个定理是谁最先发明的.国外一般认为这个定理是毕达哥拉斯学派（pythagoras，公元前580~前500）首先发现的，因而称为毕达哥拉斯定理.

勾股定理曾引起很多人的兴趣，世界上对这个定理的证明方法很多.1940年卢米斯（e.s.loomis）专门编辑了一本勾股定理证明的小册子――《毕氏命题》，作者收集了这个著名定理的370种证明，其中包括大画家达?芬奇和美国总统詹姆士????阿?加菲尔德（james abram

garfield,1831~1881）的证法.

美国总统詹姆士??阿?加菲尔德的证法如下：

1112s梯形＝a+b）＝a2?ab?b2,222如图：因为 111s梯形?2?ab?c2?ab?c2.222a

b所以a2?b2?c2.

勾股定理是一条古老而又应用十分广泛的定理.例如从勾股定理出发逐渐发展了开平方、开立方；用勾股定理求圆周率.据说4000多年前，中国的大禹曾在治理洪水的过程中利用勾股定理来测量两地的地势差.勾股定理以其简单、优美的形式，丰富、深刻的内容，充分反映了自然界的和谐关系.人们对勾股定理一直保持着极高的热情，仅定理的证明就多达四百多种，甚至著名的大物理学家爱因斯坦也给出了一个证明.中国著名数学家华罗庚在谈论到一旦人类遇到了“外星人”，该怎样与他们交谈时，曾建议用一幅反映勾股定理的数形关系图来作为与“外星人”交谈的语言.这充分说明了勾股定理是自然界最本质、最基本的规律之一，而在对这样一个重要规律的发现和应用上，中国人走在了前面.方案三（教师介绍欧几里得证法） 证明：证明：在rt△abc的三边上向外各作一个正方

形（如图8），

作cn⊥de交ab于m，那么正方形被分成两个矩形．连结cd和kb． ∵由于矩形adnm和△adc有公共的底ad和相等的高， ∴ｓ矩形adnm＝2ｓ△adc

又∵正方形achk和△abk有公共的底ak和相等的高，

∴ｓ正方形achk＝2ｓ△abk

在△adc和△abk中

∵ad＝ab，ac＝ak，∠cad＝∠kab

∴△adc≌△abk

由此可得ｓ矩形adnm＝ｓ正方形achk 同理可证

图8

ｓ矩形benm＝ｓ正方形bcgf

∴ｓ正方形abed＝ｓ矩形adnm＋ｓ矩形benm＝ｓ正方形achk＋ｓ正方形bcgf

即a2?b2?c2.

（目的：在勾股定理的发现过程中，充分鼓励学生不同的拼图方法得出不同的验证方法，帮助学生自主建构新知识.另外要介绍学生所拼的图7就是古代的弦图，也是在北京召开的2014年国际数学家大会的会标，进一步激发学生的成就感.让学生充分体验到探索创新所带来的成功的喜悦.）

四、应用新知、解决问题

例1如图19.2.4，将长为5.41米的梯子ac斜靠在墙上，bc长为2.16米，

求梯子上端a到墙的底端b的距离ab.（精确到0.01米）

解 在rt△abc中,∠abc=90゜,bc=2.16, ca=5.41,

根据勾股定理得

ab?ac2?bc2?5.412?2.162

≈4.96（米）

答：梯子上端a到墙的底端b的距离约为4.96米. 图

19.2.4例2 （趣味剪纸）如图两个边长分别为4个单位和3

个单位的正方形连在一起的“l”形纸片，请你剪两刀，再将所得到的图形拼成正方形.

（目的：本段内容主要通过教师启发引导，学生共同探究完成，一方面让学生感受解决问题的愉悦与强烈的成就感，培养学生动手能力和学习兴趣以及加强对勾股定理的理解.另一方面让学生知道：（1）勾股定理应用的前提条件（在直角三角形中）；（2）已知直角三角形的两边会用勾股定理求第三边.）

五、自我评价、形成知识

⑴这节课我的收获是.

⑵我感兴趣的地方是.

⑶我想进一步研究的问题是.

（目的：通过这几个问题，可以很好的揭示学生新建立的不同的认知结构，也体现了不同的人学数学有不同的收获.把学习的权利交给学生，使学生体验做数学的乐趣.同时，把探究阵地从课堂延伸到课外，有利于充分挖掘学生的潜能.）

六、作业

⑴课本p104习题19.2 1，2，3

⑵通过上网，搜索有关勾股定理的知识：如（1）勾股定理的历史；（2）勾股定

理的证明方法；（3）勾股定理在实际生活中的应用等.然后写一篇以勾股定理为

主题的小论文.

（目的：巩固勾股定理，进一步体会定理与实际生活的联系.促进学生学知识，用知识的意识.新课程标准提倡课题学习（研究性学习），通过课题学习与研究更多地把数学与社会生活和其他学科知识联系起来，使学生进一步体会不同的数学知识以及数学与外界之间的联系，初步学习研究问题的方法，提高学生的实践能力和创新意识.）

· 关于教学设计的几点说明：

1、这节课是定理课，针对八年级学生的知识结构和心理特征，本节课我准备以“问题情境-----实验、猜测-----验证、证明----实际应用”的模式展开，引导学生从已有的知识和生活经验出发，提出问题与学生共同探索、讨论.让学生经历知识的发生、形成与应用的过程，从而更好地理解数学知识的意义.让学生体会到观察、猜想、归纳、验证的思想和数形结合的思想；

2、由于学生的个体差异表现为认知方式与思维策略的的不同，以及认知水平和学习能力的差异，所以在整个教学过程中，我都将尊重学生在解决问题过程中所表现出的不同水平，尽可能让所有学生都能主动参与，并引导学生在与他人的交流中提高思维水平.在学生回答时，我通过语言、目光、动作给予鼓励与赞许，发挥评价的积极功能；

3、探索定理采用了面积法，通过用割补两种方法对直角边为3、4这一特殊直角三角形的斜边上的正方形的面积的计算，得到此直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方.由此自然的过渡到对一般直角三角形三边关系的研究，当然也自然的用此方法证明了勾股定理.这种方法是认识事物规律的重要方法之一(来源好范 文网：wWw.haoWord.coM)，通过教学让学生初步掌握这种方法，对于学生良好思维品质的形成有重要作用，对学生的终身发展也有一定的作用；

4、本课小结也很有新意，通过这短短的几个问题，可以很好的揭示学生新建立的不同的认知结构，也体现了不同的人学数学有不同的收获.把学习的权利交给学生，使学生体验做数学的乐趣.同时，把探究阵地从课堂延伸到课外，有利于充分挖掘学生的潜能。

第二篇：勾股定理教案

一，课题：勾股定理（八年级下册第十八章——勾股定理）

二，教学类型：新知课

三，教学目的：让学生了解勾股定理的产生及其内容。

四，教学方法：讲解法

五，教学重难点：如何引入勾股定理，如何让学生理解勾股定理的内容。 六，教具：粉笔，直角三角板，画好网格的a4纸，正方形彩纸。

七，教学过程：1，引入新课：相传2500年前，大数学家毕达哥拉斯在朋友家做客时发现家里的地板放映了直角三角边的某种数量，请同学们仔细观察书p72的图，看是否能发现途中隐藏的玄机？

2，讲解新课：我们能发现，图中，以等腰直角三角形的两直角边为边长的小正方形面积和，等于以斜边为边长的正方形的面积，因此我们大胆提出猜想，等腰直角三角形的三边之间有特殊关系：斜边的平方和等于两直角边的平方和。见书p73图。这即是我们的命题一：如果是角三角形的两直角边长分变为a，b，斜边长为c,那么a^2+b^2=c^2.那么我们如何验证命题的正确性呢？请拿出我们的两张正方形彩纸，按照书上给出的步骤进行折叠，并把中间的小正方形描画出来。我们所折出的四个全等三角形中短边长为a，长直角边长为b，斜边长为c，且斜边长即为新折出的正方形的边长。原来没有折叠前，两张彩纸的面积一共为a^2+b^2,折叠后的面积为c^2,但是折叠前后并没有改变其面积的大小，因此有a^2+b^2=c^2.这样命题就等到了验证。（这种方法是我国古代的数学家赵爽想出来的，同学们是否有其他方法来验证命题的正确性？）命题一就是我们所说的勾股定理。

3，小结：勾股定理的内容是什么？验证勾股定理的方法是什么？

4，巩固：我们来研究勾股定理在实际中是如何被利用的。有一个门框，宽3米，高4米，请问有个人拿了五米高的薄木板，请问他能否通过此门？若能应如何通过？若不能请给出理由。（能。运用勾股定理，3^2+4^2=5^2，把木板按照门的对角线放置就能经过此门）

5，作业：书p781，2，5，8题

八，思考：我们知道直角三角形一定满足勾股定理，那么满足勾股定理的三角形一定是直角三角形吗？你是否能找到满足勾股定理但不是直角三角形的例子呢？请同学们回家思考，明天给我答案。

第三篇：勾股定理教案

勾股定理

作者：范丹初中 耿占华

一、素质教育目标

（一）知识教育点

1、用验证法发现直角三角形中存在的边的关系。

2、掌握定理证明的基本方法。

（二）能力训练点

观察和分析直角三角形中，两边的变化对第三边的影响，总结出直角三角形各边的基本关系。

（三）德育渗透点

培养学生掌握由特殊到一般的化归思想，从具体到抽象的思维方法，以及化归的思想，从而达到从感性认识到理性认识的飞跃；又从一般到特殊，从抽象到具体，应用到实践中去。

二、教学重点、难点及解决办法

1、重点：发现并证明勾股定理。

2、难点：图形面积的转化。

3、突出重点，突破难点的办法：《几何画板》辅助教学。

三、教学手段 ：

利用计算机辅助面积转化的探求。

四、课时安排：

本课题安排1课时

五、教学设想：

想培养学生的思维能力，为学生提供一个丰富的思维空间，使学生能够根据“式，数、形”等不同的结构从不同的角度去分析问解决问题

六、教学过程（略）

第四篇：初二勾股定理教案

协 议 书

经双方协议，达成共识。竹园行政村村民刘永会自愿同意，将南地伍亩三分（5.3）的责任田，永久转给本村村民刘永田耕种，南顶大路，北顶小坑，东靠刘红志，西靠刘永远。双方同意，永不反悔，谁反悔谁负责全部责任。此地可埋人。（不包括刘永会粮补资金）双方粮补资金仍旧归各自所有。

协议人：

证明人:

2014年11月20日

第五篇：18.1勾股定理教学教案

18.1勾股定理教学教案

【教学目标】

1、体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形三边之间的数量关系.

数学思考：

2、让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学过程，并体会数形结合和由特殊到一般的思想方法.

3、在探索勾股定理的过程中，让学生体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神．通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进数学学习的信心.

4、在勾股定理的探索过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想．了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程．

5、通过拼图活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维．在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究结果．

【教学重点与难点】

教学重点：（1）探索和验证勾股定理. （2）通过数学活动体验获取数学知识的感受.

教学难点：在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理及用拼图的方法证明勾股定理．

【教具】多媒体课件（演示文稿）.

【教学方法】讲授法、讨论法.

【教学过程】

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