新版题库（新版多篇）

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知识扩展 篇一

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，且每一项都不为0(常数)，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示 [

数列专题 篇二

数列专题

朱立军

1、设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝nan－2n(n－1)． (1)求数列{an}的通项公式an；

（2）设数列 

1a 的前n项和为T1

1n，求证：nan＋15≤Tn＜

42、设数列a

2n1n满足a1＋3a2＋3a3＋…＋3an

＝n

3，a∈N*。(1)求数列an的通项； (2)设bn

n＝

a，求数列bn的前n项和Sn。 n3、在数列{a*

n}中，a1＝3，an＝－an-1－2n＋1 (n≥2且n∈N)。(1)求a2，a3的值；

（2）证明：数列{an＋n}是等比数列，并求{an}的通项公式； (3)求数列{an}的前n项和Sn.

4、已知数列{a项和S1211*

n}的前nn＝2n

2，数列{bn}满足bn+2－2bn+1＋bn＝0(n∈N)，且b3＝11，前9

项和为153.(1)求数列{an}、{bn}的通项公式； (2)设cn＝

3n

－

n

－，数列{cn}的前n项和为Tn，若对任意正整数n，Tn∈[a，b]，求b－a的最小值．

5、已知点(1,2)是函数f(x)＝ax

(a＞0且a≠1)的图象上一点，数列{an}的前n项和Sn＝f(n)－1.(1)求数列{an}的通项公式；

（2）若bn＝logaan+1，求数列{anbn}的前n项和Tn.

6、已知数列{aa*

n }中，1=2，对于任意的p,q∈N，都有apqapaq. (1)求数列{an}的通项公式；

（2）令b*

*

n＝ln an (n∈N)，是否存在k(k∈N)，使得bk、bk+

1、bk+2成等比数列？若存在，求出所

有符合条件的k的值，若不存在，请说明理由； (3)令cn＝

1aa，S{c*n

n为数列n}的前n项和，若对任意的n∈N，不等式tSn

1立，求实数t的取值范围．

7、已知数列{a满足：a2n

n}和{bn}1＝λ，an+1＝

3an＋n－4，bn＝（－1）(an－3n＋21)，其中λ为实数，n为正整数。(1) 对任意实数λ，证明数列{an}不是等比数列；

（2） 试判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论。

数列专题答案

1．(1)解 由Sn＝nan－2n(n－1)得an＋1＝Sn＋1－Sn＝(n＋1)an＋1－nan－4n， 即an＋1－an＝4.∴数列{an}是以1为首项，4为公差的等差数列， ∴an＝4n－3.

（2）证明 T11111

11n＝a＋…＋＋1

1a2a2a3anan＋11×55×99×13

－

＋

1－***14n－3－14n＋1

＝114

1－4n＋11＜4.

又易知T111

n单调递增，故Tn≥T1＝5，得5≤Tn

42．解析：(1)a

2an-1

n

1＋3a2＋33＋…＋3an＝3

①

a＋3a＋32aan1n-1

11123＋…＋3n-2 n-1＝3 ②， ①-②得3an =3,所以an3

n(n≥2)。

经过验证当n=1也成立，因此a1

n3

n.

（2） bna=n3n,利用错位相减法可以得到S(2n1n＝

n)3n13. n

443．(1)解：∵a*

1＝3，an＝－an－1－2n＋1 (n≥2，n∈N)，∴a2＝－a1－4＋1＝－6，a3＝－a2－6＋1＝

1、(2)证明 ∵an＋n－an－1－2n＋＋n

aa

n－1＋－n－1＋n－1

＝－an－1－n＋1a＝－1， n－1＋n－1

∴数列{a＋1＝4，公比为－1的等比数列。 ∴an－1

n＋n}是首项为a1n＋n＝4·（－1），即an＝4·（－1）n－1－n，∴{a1)n－1－n (n∈N*

n}的通项公式为an＝4·(－)。

n

（3）解 ∵{an－1

n}的通项公式为an＝4·（－1）

－n (n∈N*

)，所以Sn＝∑ak＝

k＝1

n

n

n

n

∑[4·（－1）

k－1

－k] ＝∑[4·（－1）

k－1

]－∑k＝4×

1－－

－

＋

k＝1

k＝1

k＝1

1－－2

＝2[1－（－1）n

]－

12

(n2

＋n) ＝－n＋n－4n

2（－1）。

4．解 (1)因为S1211

n＝2＋2

n，当n≥2时，an＝Sn－Sn-1＝n＋5，当n＝1时a1＝S1＝6，满足上式，所以an＝n＋5，又因为bn+2－2bn-1＋bn＝0， 所以数列{bn}为等差数列，由S＋b

79＝

153，b3＝11，故b7＝23， 所以公差d＝23－11

7－33，所以bn＝b3＋(n－3)d＝3n＋2，(2)由(1)知c3

n＝

111n

－

n

－

－

＋

212n－12n＋1，所以T1n＝c1＋c2＋…＋cn＝111121－3＋35＋…＋2n－112n＋1

＝11121－2n＋1＝n2n＋1，又因为Tn＋1nn＋1－Tn＝2n＋32n＋1＝＋

＋

0，所以{T1n}单调递增，故(Tn)min＝T13

而Tn＝

n2n＋1n2n121312n，Ta的最大值为1

nn∈[a，b]时3，b的最小值为12(b－a)＝111min236

5．解 (1)把点(1,2)代入函数f(x)＝ax得a＝2，所以数列{an项和为Sn

n}的前n＝f(n)－1＝2－1.

当n＝1时，ann－1n-1

1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2－2＝2，对n＝1时也适合．∴an-1

n＝2.

（2）由a＝2，b＝log，所以an-1

naan+1得bn＝nnbn＝n·2.

T01＋3·22＋…＋n·2n-1

n＝1·2＋2·2，①

2T12＋3·23＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n

n＝1·2＋2·2②

由①－②得：－T0＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n，所以T＝(n－1)2n

n＝2n＋1.

6．解 本题主要考查等差数列、等比数列和利用不等式知识解答恒成立问题等知识，考查运算求解

能力、推理论证能力，以及分类讨论的数学思想．解答存在性问题的基本策略是先假设存在，然后结合已知条件展开证明．

（1）令p＝1，q＝n，则有an+1＝an＋a1，故an+1－an＝a1＝2，即数列{an}是以2为首项，2为公差的等

差数列，所以数列{a*

n}的通项公式为an＝2n(n∈N)．

（2)假设存在k(k∈N*），使得b 2*

k、bk+

1、bk+2成等比数列，则bkbk＋2＝bk＋1(k∈N)．

因为bln a*

n＝n＝ln 2n(n∈N)，所以b＋

kbk+2＝ln 2k·ln 2(k＋2)<ln 2k＋

2＋

2

22＝

22＋<22

＝

[ln 2(k＋1)]2＝b 2b2*

k＋1，这与bkbk+2＝k＋1矛盾．故不存在k(k∈N)，使得bk、bk+

1、bk＋2成等比数列．

（3）因为c111n＝a＝＝nan＋1＋41n1n＋1 ，所以S＝111n111

23

141－2＋＋…＋nn＋1＝

41－1n＋1

＝n＋n为偶数时，若对任意的n∈N*，不等式tSn

n

t<＋＋n4n＋9n＋10，而4n＋9n＋10≥4n·9n＋10＝64，当且仅当n＝9

n

n＝3时，等号成立，故t<64；

当n为奇数时，若对任意的n∈N*，不等式tSn

－＋n

＝4n－9n8，因为n－99nn的增大而增大，所以当n＝1时，n－n取得最小值－8，此时t需满足t<－64.

综上知，实数t的取值范围为（－∞，－64）。

7．(1)证明 假设存在一个实数λ，使{a2

n}是等比数列，则有a 2＝a1a3，即23－32＝λ49－4



⇔492－4λ＋9＝42

9

λ－4λ⇔9＝0，矛盾，所以{an}不是等比数列。 (2)解 因为b＝（－1）n+1[an+1n＋1－3(n＋1)＋21] ＝（－1）2

n＋13an－2n＋14

＝－2n

23（－1）·(an－3n＋21) ＝－3

n.

又b*

1＝－（λ＋18），所以当λ＝－18时，bn＝0 (n∈N)，此时{bn}不是等比数列；

当λ≠－18时，b2bn＋12*

1＝－（λ＋18）≠0，由bn＋13n. 可知bn≠0，所以b＝－ (n∈N)。故当λ≠

n3－18时，数列{b2

n}是以－（λ＋18）为首项，－3为公比的等比数列。

已知x大于 篇三

已知x大于0，y大于0，且2x+5y=20求lgx+lgy的最大值

方法一：

因为lgx，lgy有意义

所以x>0,y>0

由均值不等式

2x+5y≥2√(2x*5y)=2√(10xy)

即20≥2√10xy

解得xy≤10

lgx在（0,+∞）上是单调增函数

lgx+lgy=lg(xy)≤lg10=1

所以lgx+lgy的最大值为1

方法二：

由2x+5y=20的x=(20-5y)/2

xy=(20-5y)(y/2)=-(5/2)(y-2)^2+10

当y=2时，xy有最大值10

即xy≤10

lgx+lgy=lg(xy)≤lg10=1

所以lgx+lgy的最大值是1

已知等差数列 篇四

1、已知等差数列｛an｝满足a1+a2+a3+…+a101=0,则有

A.a1+a101>0 B.a2+a100<0 C.a3+a99=0 D.a51=51

2、在等差数列｛an｝中，a1+3a8+a15=120,则3a9-a11的值为____

3、在等差数列｛an｝中，Sn=n平方+3n+C则S5等于

A.15 B.25 C.40 D.不能确定

4、设数列｛an｝是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5S8,则下列结论中错误的是

A.dS5 D.S6和S7均为Sn的最大值

5、已知在等差数列｛an｝中，a1=1,S3=6,则a5的值为____

6、已知等差数列｛an｝的通项公式是an=kn-3,并且它的第8项是-7，则它的第14项是____

7、已知等差数列｛an｝的公差为1，且a1+a2+a3+…+a99=99,则a3+a6+a9+…+a99=____

8、定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。

已知数列｛an｝是等和数列，且a1=2,公和为5，那么a18的值为____,这个数列的前n项和Sn的计算公式为_____

1、在等差数列{an}中，已知a5=-1，a8=2求a1于d

2、在等差数列{an}中，若a2+a3+a4+a5=34，且a2×a5=52，求此数列的通项公式

3、设一元二次方程（b-c)x∧2+(c-a)x+a-b有两个相等的实根。求证：abc互为等差数列

http:///math/Article_Show.asp?ArticleID=107

已知数列 篇五

已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＋Sn＝n.

（1）设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；

已知数列{an}，则“an，an＋1，an＋2（n∈N*）成等比数列”是“a2n＋1＝anan＋2”的()

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

a2n＋1若数列{an}满足＝p（p为正常数，n∈N*），则称数列{an}为“等方比数列”．甲：数an

列{an}是等方比数列；乙：数列{an}是等比数列，则甲是乙的()

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝4an－3（n∈N*）．

（1）证明：数列{an}是等比数列；

1．（2012·大纲全国卷）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝()

A．2n1－3n－1B.2

1－22n－1C.3

已知数列{an}是等差数列,设bn=a2n 1-a2n证明：数列{bn}是等差数列 篇六

已知数列{an}是等差数列，设ｂｎ＝ａ²n+1－ａ²n证明：数列｛ｂn｝是等差数列

思路：这个题的方法和上课讲的方法是一致的，你没有做出来，是因为忽略了数列{an}是等差数列这个条件，这个条件就以为着对于{an}来说，前后两项的差为常数

证明：设等差数列{an}的公差为d

bn1bn

2222(an2an1)(an1an)

(an2an1)(an2an1)(an1an)(an1an)

d(an2an1)d(an1an)

d(an2an1an1an)

d(an2an)

d2d

2d2

⊙已知函数ｆ﹙ｘ）＝ｘ3＋ｘ，ｇ（ｘ）＝（ｘ2＋ａｘ＋4）÷ｘ （1）若对任意的ｘ1属于【1，3】，存在ｘ2属于【1，3】，使得ｆ（ｘ1）≥ｇ（ｘ2）成立，求ａ的取值范围。

（2）若对任意的ｘ1，ｘ2属于【1，3】都有ｆ（ｘ1）≥ｇ（ｘ2）成立，求ａ的取值范围。思路：第2问是恒成立问题，你说的对，第一个问不是。因为是“存在ｘ2”，所

以应该满足的条件是f(x)的最大值大于等于g(x)的最大值，f(x)的最小值大于等于g(x)的最小值，解：f(x)通过求导可求得值域为f(x1)[2,30]，g(x2)x4a[4a,5a] x

305a所以（1）解不等式，解不等式即可 24a

（2）25a，解不等式即可

⊙设ｍ属于Ｒ，在平面直角坐标系中，已知向量ａ＝（ｍｘ，ｙ＋1），向量ｂ＝（ｘ，ｙ－1），向量ａ⊥向量ｂ，动点Ｍ（ｘ，ｙ）的轨迹为Ｅ。

已知ｍ＝1／4，证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹Ｅ恒有两个交点Ａ，Ｂ，且ＯＡ⊥ＯＢ(Ｏ为坐标原点），并求出该圆的方程。

思路：该题就是一个“直线和圆锥曲线相交”的问题，方法是韦达定理法。关于解析几何的大题，我会在寒假的时候，重点训练大家的，这种题的特点是运算量大，思路倒是没有什么问题。先根据向量垂直，求出M的轨迹方程为椭圆。然后在根据圆的性质：切点与圆心的连线与切线垂直，切点与圆心的距离等于半径，再加上向量垂直，即可求解。

12x2

222y21 解：bxy10x4y444

设圆的切线的切点坐标为P(x0,y0)，则k0Py0x，因为OP和AB垂直，所以kAB0，x0y0则设直线AB的方程：yy0x0(xx0)带入到椭圆方程中，得： y0

2(y04x0)x8x0rx4r4y00x1x2222248x0r2

y04x022,x1x24r44y0y04x0222

r2x0x1r2x0x2又因为0A0Px1x2y1y20x1x2（)(）0y0y0

x1x2r2x0(x1x2)0

将上面求得的x1x28x0r2

y04x022,x1x24r44y0y04x0222带入到上式中，整理可求得

r24422，即圆的方程为xy 55

⊙设ａ＞1，则双曲线ｘ²÷ａ²－ｙ²÷（ａ＋1）²＝1的离心率ｅ的取值范围是？ a2(a1)21解：e2a25 aa

总结；最后求范围是根据对勾函数求的，如果不懂，可以参考函数课程中的“分式函数”这节课。

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