化动为静—解圆锥曲线中的定值问题

      化动为静—解圆锥曲线中的定值问题

                   摘  要：探索性问题中的定值问题，主要考查学生解决非传统完备问题的能力，以函数为蓝本,将数学知识有机融合，并赋予新的情景创设而成的。在圆锥曲线中,某些几何量在特定的关系结构中,不受相关变元的制约而恒定不变,则称该几何量具有定值特征,这类问题称之为定值问题。那么如何动中觅静、动静互化以动制动，这就要求学生学会观察分析，“创造性”地综合运用所学知识解决问题。这类问题其过程可以用下图表示为：观察→猜测→抽象→概括→证明。

 

关键词：定值定点 圆锥曲线 特例 求解策略 动中觅静 以动制动

 

纵观近几年全国各地高考数学题的命制，都非常注重对学生能力的考查。定值问题作为探索性问题之一，很好地具备了内容涉及面广、重点题型丰富，而结论封闭、客观等命题要求，方便考查考生的分析、比较、猜测、归纳等综合能力，因而受到命题人的喜爱。本文仅就圆锥曲线中的定值问题，作一点解法上的探讨。

探求之一： 特值探路, 方向明确

在解数学题时，我们应该根据题目的特点，选取灵活的方法求解，而选择题和填空题是一类只注重结果而不需写出解题过程的特殊问题﹒而大题解答中可以根据特殊性与普遍性( 个性与共性) 的辨证关系, 以特例探路, 从特例中求出几何量的定值。从而化繁为简，有了方向继而进行计算和推证。

例1：（山东理22） 已知动直线与椭圆C: 交于P、Q两不同点，且△OPQ的面积=,其中O为坐标原点.

（Ⅰ）证明和均为定值;

（Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求的最大值；

（Ⅲ）椭圆C上是否存在点D,E,G，使得?若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由.

（I）解：（1）当直线的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，所以

因为在椭圆上，因此            ①又因为

所以          ②由①、②得

此时

   （2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为

由题意知m，将其代入，得，

其中即             …………（*）

又

所以

因为点O到直线的距离为

又整理得且符合（*）式，

此时

综上所述，结论成立。

波利亚所说:“特殊化石从考虑一组给定的对象集合过渡到考虑该集合的一个较小的子集,或仅仅一个对象。” 特殊化策略是一种退的策略，通过特殊探索法借助“退”的结果不但能够确定出定值，还可以为我们提供解题的线索。

探求之二：利用恒等，方程架桥

   例2：.已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，

椭圆与抛物线在第一象限的交点为，.圆的圆心是抛物线上的动点, 圆与轴交于两点，且.

（1）求椭圆的方程；

（2）证明:无论点运动到何处,圆恒经过椭圆上一定点.

解：（1）∵抛物线的焦点坐标为，   ∴点的坐标为.

∴椭圆的左焦点的坐标为，抛物线的准线方程为.

设点的坐标为，由抛物线的定义可知,∵,  

∴，解得.

由，且,得.∴点的坐标为.        

. .

 ∴.∴椭圆的方程为.  

（2）设点的坐标为,圆的半径为，

∵ 圆与轴交于两点，且,

∴ .∴.

∴圆的方程为.   

∵ 点是抛物线上的动点,∴ ().

∴.把代入 消去整理

得:.     方程对任意实数恒成立， ∴         解得        ∵点在椭圆:上,

  ∴无论点运动到何处,圆恒经过椭圆上一定点. 

探求之三：设参消参，借梯借船

从整体考虑,瞄准所求,抓住本质,巧设未知数,设而不求,或整体求解,或代换转化,不仅会使问题化繁为简,化难为易,而且有助于培养同学们创造性思维,提高同学们的分析问题、解决问题的能力.

例3：.  已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)，F为其焦点，离心率为e。

（Ⅰ）若抛物线x＝y²的准线经过F点且椭圆C经过P(2,3)，求此时椭圆C的方程；

（Ⅱ）过A(0, a)的直线与椭圆C相切于M，交x轴于B，且＝，求证：μ＋c²＝0。

解：（Ⅰ）依题意知(-2，0)，即 

由椭圆定义知：,

所以,即椭圆的方程为：.

(Ⅱ)证明：由题意可设直线的方程为： 

根据过的直线与椭圆相切 ,可得： 

 

易知设,则由上知

由 知

 ，

探求之四：数形结合,依旧好用

“数缺形时少直觉 ,形少数时难入微 ,数形结合百般好 ,隔离分离万事非”.这说明以形助数可以使许多抽象的概念和复杂的关系直观化、形象化 .那么“形”从何来 ?“形”从我们学过的知识中来 ,解析几何中大量存在着我们需要的“形”,所以我们在教学中应强调几何模型与数学问题的转换。结合图象合理选取求弦长问题的方法。

例4：设，点在轴的负半轴上，点在轴上，且．

（1）当点在轴上运动时，求点的轨迹的方程；

（2）若，是否存在垂直轴的直线被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

解：（1），故为的中点．设，由点在轴的负半轴上，

则  又，       

又，     所以，点的轨迹的方程为   

（2）设的中点为，垂直于轴的直线方程为，

以为直径的圆交于两点，的中点为．

，

  -------9分

  所以，令，则对任意满足条件的，

都有（与无关），即为定值．

求定值是解析几何中颇有难度的一类问题，由于它在解题之前不知道定值的结果，因而更增添了题目的神秘色彩。解决这类问题时，要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性。因此面对高考试题的命题原则, 应逐步养成分析条件、探究方向、选择方法、设计程序的良好思维习惯,是从根本上提高数学能力的重要保证

参考文献：

[1]蒋大明. 构造齐二次式解决圆锥曲线的两类定值问题.

[2]李云果. 圆锥曲线中定值问题的求解策略

[3]李文宾. 探究“一定二动斜率定值”问题