浅谈成分分析法与层次分析法论文【多篇】

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层次法数学建模论文 篇一

基于层次分析法的数学分析教材选择

摘 要：数学分析课程是数学专业的核心基础课，该课程具有高度的抽象性、严密的逻辑性和科学的系统性，从而使得大部分大一新生在学习该课程时遇到较大的困难，导致难以达到很好的学习效果继而影响后继课程的学习。为更好地提高教育教学质量，实践以学生为主体的办学理念，选择一套适合该院学生的该课程教材是教学改革的重要环节之一。通过引入层次分析法，计算出数学分析教材选择中的指标权重，从而得到更合理、更科学的数学分析教材选择模型。

关键词：教材选择 层次分析法 指标体系

1 方法步骤

1.1 层次分析法

层次分析法(Analytic Hierarchy Process，简记AHP)是由T.L.Saaty等人在20世纪70年代提出的一种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析方法。该方法自提出之后，由于它在处理复杂的决策问题上的适应性和有效性已经在众多领域得到了成功的应用。

1.2 建立层次结构模型

根据应用型地方本科院校培养人才目标及数学分析教材选择时涉及到的因素进行充分分析，建立层次结构如图1所示。

第一层：目标层A，表示系统要达到的目标“最佳教材A”。

第二层：主准则层B，衡量达到目标的各项准则，包括知识体系B1、学生心理B2、质量体系B3。

第三层：子准则层C，是衡量达到主准则层的各项子准则，包括数学分析知识介绍C1、结构安排情况C2、难易程度C3、符合认识发展规律C4、学习兴趣C5、学习主动性C6、印刷水平C7、教材价格C8、读者服务C9。

第四层：方案层D，是实现目标可能采取的各种方案。对众多的数学分析教材进行筛选后选定了3套教材，即华东师大编写数学分析D1;刘玉莲、傅沛仁编数学分析D2;王绵森、马知恩编数学分析D3。

1.3 构造成对比较阵及计算权向量并做一致性检验

从层次结构模型的第二层开始，对于从属于（或影响及）上一层每个因素的同一层诸因素，用成对比较法和1～9比较尺度构造成对比较阵，直到最下层。由此得到主准则层B对目标层A的判断矩阵，利用Matlab软件对求出最大特征值。对做一致性检验，指标为，其中为判断矩阵的阶数。检验系数为，表明矩阵具有满意的一致性。其中为平均一致性指标，当时，。同时可求得的对应于的单位特征向量为。

2 结语

从层次分析模型可知，最佳教材选择应为D1，即华东师范大学数学系编《数学分析（第四版）》。D2所占比例与D1所占比例较接近，这也说明在实际工作中这两部教材被众多普通高校所选择使用的主要原因。应用层次分析法对数学分析教材进行选择，能够很好地反映教材的实际情况，具有一定的合理性，避免了凭感觉选择教材的局限性，从而能够更好地为教学工作提供支持。但是用此方法在构造判断矩阵时任具有一定的主观性，各项指标权重及测评指标的内涵的确定仍有待进一步的研究与探索。

参考文献

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[2] 姜启源，谢金星，叶俊。数学模型[M]。4版。北京：高等教育出版社，2011：249.

[3] 王燕飞。基于层次分析法的房地产风险评估[J]。吉林化工学院学报，2015，32(11)：94-97.

[4] 于颖，夏吉庆。基于层次分析法的岗位工资确定方法研究[J]。数学的实践与认识，2008，38(24)：84-88.

[5] 陈欣。模糊层次分析法在方案优选方面的应用[J]。计算机工程与设计，2004，25(10)：1847-1849.

[6] 徐晓敏。层次分析法的运用[J]。统计与决策，2008(1)：156-158.

层次法数学建模论文 篇二

层次分析法建模

70 年代由美国运筹学家T·L·Satty提出的，是一种定性与定量分析相结合的多目标决策分析方法论。吸收利用行为科学的特点，是将决策者的经验判断给予量化，对目标（因素）结构复杂而且缺乏必要的数据情况下，採用此方法较为实用，是一种系统科学中，常用的一种系统分析方法，因而成为系统分析的数学工具之一。

一、问题举例：

A.大学毕业生就业选择问题

获得大学毕业学位的毕业生，“双向选择”时，用人单位与毕业生都有各自的选择标准和要求。就毕业生来说选择单位的标准和要求是多方面的，例如：

① 能发挥自己的才干为国家作出较好贡献（即工作岗位适合发挥专长）；

② 工作收入较好（待遇好）；

③ 生活环境好（大城市、气候等工作条件等）；

④ 单位名声好（声誉-Reputation）；

⑤ 工作环境好（人际关系和谐等）

⑥ 发展晋升(promote, promotion)机会多（如新单位或单位发展有后劲）等。

问题：现在有多个用人单位可供他选择，因此，他面临多种选择和决策，问题是他将如何作出决策和选择？——或者说他将用什么方法将可供选择的工作单位排序？

B.假期旅游地点选择

暑假有3个旅游胜地可供选择。例如：P1：苏州杭州，P2北戴河，P3桂林，到底到哪个

地方去旅游最好？要作出决策和选择。为此，要把三个旅游地的特点，例如：①景色；②费用；③居住；④环境；⑤旅途条件等作一些比较——建立一个决策的准则，最后综合评判确定出一个可选择的最优方案。

目标层

准则层

方案层

C.资源开发的综合判断

7种金属可供开发，开发后对国家贡献可以通过两两比较得到，决定对哪种资源先开发，效用最用。

二、问题分析：

例如旅游地选择问题：一般说来，此决策问题可按如下步骤进行：

(S1)将决策解分解为三个层次，即：

目标层：（选择旅游地）

准则层：（景色、费用、居住、饮食、旅途等5个准则）

方案层：（有P1，P2，P3三个选择地点）

并用直线连接各层次。

(S2)互相比较各准则对目标的权重，各方案对每一个准则的权重。这些权限重在人的思维过

程中常是定性的。

例如：经济好，身体好的人：会将景色好作为第一选择；

中老年人：会将居住、饮食好作为第一选择；

经济不好的人：会把费用低作为第一选择。

而层次分析方法则应给出确定权重的定量分析方法。

(S3)将方案层对准则层的权重，及准则层对目标层的权重进行综合。

(S4)最终得出方案层对目标层的权重，从而作出决策。

以上步骤和方法即是AHP的决策分析方法。

三、确定各层次互相比较的方法——成对比较矩阵和权向量

因素比较方法 —— 成对比较矩阵法：

目的是，要比较某一层n个因素C1,C2, ， Cn对上一层因素O的影响（例如：旅游决策解中，比较景色等5个准则在选择旅游地这个目标中的重要性）。

采用的方法是：每次取两个因素Ci和Cj比较其对目标因素O的影响，并用aij表示，全部

比较的结果用成对比较矩阵表示，即：

A(aij)nxn, aij0, aji1aij（或aijaij1） (1)

由于上述成对比较矩阵有特点： A(aij) ， aij0, aij

1aji

1aji

故可称A为正互反矩阵：显然，由 aij，即：aijaji1，故有：aji1

四、一致性检验——一致性指标：

1、一致性检验指标的定义和确定——CI的定义：

maxn

CI

n1

一般CI01，认为主观判断矩阵A的一致性可以接受，否则应重新进行两两比较，构造主观判断矩阵。

2、随机一致性检验指标——RI

问题：实际操作时发现：主观判断矩阵A的维数越大，判断的一致性越差，故应放宽对高维矩

阵的一致性要求。于是引入修正值RI来校正一致性检验指标：即定义RI的修正值表为：

CIRI

并定义新的一致性检验指标——一致性比率为：CR

当：CR

CIRI

01时，认为主观判断矩阵A的不一致程度在容许范围之内，

可用其特征向量作为权向量。否则，对主观判断矩阵A重新进行成对比较，构重新的主观判断矩阵A。 注：上式CR

CIRI

0

1的选取是带有一定主观信度的。

五、标度——比较尺度解：

六、组合权向量的计算——层次总排序的权向量的计算

七、层次分析法的基本步骤：

(S1)建立层次结构模型

将有关因素按照属性自上而下地分解成若干层次：

同一层各因素从属于上一层因素，或对上层因素有影响，同时又支配下一层的因素或受到下层因素的影响。

最上层为目标层（一般只有一个因素），最下层为方案层或对象层/决策层，中间可以有1个或几个层次，通常为准则层或指标层。

当准则层元素过多（例如多于9个）时，应进一步分解出子准则层。

(S2)构造成对比较矩阵，以层次结构模型的第2层开始，对于从属于（或影响及）上一层每个因素的同一层诸因素，用成对比较法和1～9比较尺度构造成对比较矩阵，直到最下层。

(S3)计算（每个成对比较矩阵的）权向量并作一致性检验

(S4)计算组合权向量并作组合一致性检验——即层次总排序 八、应用实例

目标层：

准则层：

决策层： 1.

1

43312121755

112111A4723=0.25

112110.333350.333



11

311

35

0.510.1430.20.2

47123

350.511



50.333

1

1

3

max 5.0721

0.26360.4758



 5.0721 ， W0.0538

0.09810.1087

故有最大特征根max

对A一致性检验指标：CI

maxn

n1



0.07214

0.018

RI1.12CR

0.021.12

0.01610.1

故通过检验。

2、准则B1, B2, B3, B4, B5相对于P1, P2, P3的成对比较矩阵为

b11

B1b21

b31

b12b22b32



b131



b231/2



b33211/2

1



2B23



18

5

3

13



31

1B31

1/3

111/3

331



B4



14

311

14

1 B51

41



114



4 41

对以上每个比较矩阵都可计算出最大特征根max及对象的特征向量W（即权重向量），并进行一致性检验：CIRI CR

列表如下：

n

其中W1, W2, W3的计算公式为：Wi

a

j1

j

bij (i1,，n)

WP1



因此层次总排序：组合权向量为：WWP2

WP

30.29920.2452 0.4556

故最终决策为P3首选，P1次之，P2最后。 组合一致性检验：

m

a

由CR

j1m

j

CIRI

j

可知：组合一致性检验结果为——层次总排序的一致性检验：

j

j

a

j1

5

a

CR

j15

j

CI3

0.00260.1， RIj

a

j1

j

最下层对第一层的组合一致性比率为0.0161+0.0026=0.0187. 故整个层次一致性检验通过。

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