分析法证明不等式(精选多篇)

第一篇：分析法证明不等式

分析法证明不等式

已知非零向量a,b,a⊥b，求证|a|+|b|/|a+b|<=√2

【1】

∵a⊥b

∴ab=0

又由题设条件可知，

a+b≠0(向量)

∴|a+b|≠0.

具体的，即是|a+b|>0

【2】

显然，由|a+b|>0可知

原不等式等价于不等式：

|a|+|b|≤(√2)|a+b|

该不等式等价于不等式：

(|a|+|b|)²≤².

整理即是：

a²+2|ab|+b²≤2(a²+2ab+b²)

【∵|a|²=a².|b|²=b².|a+b|²=(a+b)²=a²+2ab+b²

又ab=0,故接下来就有】】

a²+b²≤2a²+2b²

0≤a²+b²

∵a，b是非零向量，

∴|a|≠0,且|b|≠0.

∴a²+b²>0.

推上去，可知原不等式成立。

作为数学题型的不等式证明问题和作为数学证明方法的分析法，两者皆为中学数学的教学难点。本文仅就用分析法证明不等式这一问题稍作探讨。

注:“本文中所涉及到的图表、公式注解等形式请以pdf格式阅读原文。”

就是在其两边同时除以根号a+根号b，就可以了。

下面我给你介绍一些解不等式的方法

首先要牢记一些我们常见的不等式。比如均值不等式，柯西不等式，还有琴深不等式(当然这些是翻译的问题)

然后要学会用一些函数的方法，这是解不等式最常见的方法。分析法，综合法，做减法，假设法等等这些事容易的。

在考试的时候方法最多的是用函数的方法做，关键是找到函数的定义域，还有求出它的导函数。找到他的最小值，最大值。

在结合要求的等等

一句话要灵活的用我们学到的知识解决问题。

还有一种方法就是数学证明题的最会想到的。就是归纳法

这种方法最好，三部曲。你最好把它掌握好。

若正数a，b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是?

解：ab-3=a+b>=2根号ab

令t=根号ab,

t^2-2t-3>=0

t>=3ort<=-1(舍)

即，根号ab>=3，

故，ab>=9(当且仅当a=b=3是取等号)。

第二篇：分析法证明不等式08

分析法证明不等式

教学目标:

1．掌握分析法证明不等式；

2．理解分析法实质——执果索因；

3．提高证明不等式证法灵活性.

教学重点:

分析法

教学难点:

分析法实质的理解

教学过程:

一．分析法：

证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法.

例1求证3?7?25 证明：因为?和2都是正数，所以为了证明??2 只需证明(3?7)2?(2)2

展开得10?221?20

即221?10,21?25

因为21?25成立，所以

(3?7)2?(2)2成立 即证明了??2

注意：①分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，它与

综合法是对立统一的两种方法.综合法是“由因导果”

②分析法论证“若a则b”这个命题的模式是：为了证明命题b为真，这只需要证明命题b1为真，从而有??

这只需要证明命题b2为真，从而又有??

这只需要证明命题a为真

而已知a为真，故b必真

例2证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大.

分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管截面面积的大小，

ll设截面的周长为l，则周长为l的圆的半径为，截面积为t1()2；周2?2?

ll长为l的正方形边长为，截面积为()2.所以本题只需证明44

ll?()2?()2. 2?(本文来源好范文网WWW.HaoWORd.cOM)4

说明：对于较复杂的不等式，直接运用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的。

二．课堂练习：

课本p16练习1，2，3

三．课堂小结

师：通过本节学习，要求大家在理解分析法的逻辑关系的基础上掌握分析法证明不等式，并加深认识不等式证明方法的灵活性，能综合运用证明不等式的各种方法.

四．课后作业

p17习题6.34，5，9

五．板书设计

第三篇：分析法证明不等式

主备人：审核： 包科领导：年级组长：使用时间：

4-5

【教学目标】

1.掌握分析法证明不等式的方法和步骤。

2.能够利用分析法证明不等式。

【重点、难点】

重点：分析法证明不等式。

难点：分析法证明不等式。

【学法指导】

1.据学习目标，自学课本内容，限时独立完成导学案；

2.红笔勾出疑难点，提交小组讨论；

1， 预习p17-p18,

【自主探究】

i. 分析法：从所要证明的结论入手向已知条件反推直至达到已知条件为

止，这种证明方

法称为。 即“执果索因”的证明方法，即从“未知” 看

“”它

也是证明不等式的一种重要的基本方法。证明时一定要注意书写格式。

ii. 分析法的本质是从需证的不等式出发寻求使结论成立的充分条件，证

明的关键是推理每一步都

必须可逆，简言之，步步可逆。

证明的模式(步骤)以论证“若a则b”为例；欲证明b成立，

只需证明b1成立，从而又??

只需证明b2成立，从而又??

????

只需证明a为真，今已知a真,故b必真

可见分析法就是寻求上一步成立的充分条件，可以简单写成

b?b1?b2?......?a

【合作探究】

证明下列不等式

（1） 求证 ：

分析法证明不等式 ?2

（2）已知ａ＞0, b>0且a>b

?

【巩固提高】

（1），已知a,b,x,y?r,且a2?b2?1,x2?y2?1,求证: ax?by?1

?（2），已知a,b ?r,a?b?1,求证:(a?)(b?)?1

a1b25 4

【能力提升】

已知 a,b ?r,2c?a?b,求证:

c?a?c?

本节小结：

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第四篇：2、综合法和分析法证明不等式

南化一中高三数学第一轮复习讲义55第六章《不等式》

§6.2综合法和分析法证明不等式

【复习目标】

1． 熟悉证明不等式的综合法、分析法，并能应用其证明不等式；

2． 理解分析法的实质是“执果索因”；注意用分析法证明不等式的表述格式；

3． 对于较复杂的不等式，能综合使用各种方法给予证明。

【重点难点】

综合法的难点在于从何处出发进行论证并不明确，因此我们经常用分析法寻找解题的思路，再用综合法表述。分析法是“执果索因”，综合法是“由因导果”。要注意分析法的表述格式。

【课前预习】

1.“a>1”是“1?1”的（） a

a. 充分但不必要条件b. 必要但不充分条件c. 充要条件d. 既不充分也不必要条

2.

a?3)

3. 证明a2+b2+c2≥ab+bc+ac.

4. 设a,b,c∈r+,则三个数a?1，b?1，c?1的值，则（） bca

a. 都大于2b. 至少有一个不大于2c. 都小于2d. 至少有一个不小于2

【典型例题】

11??3? xy

abc???a??c.（2）设a,b,c都是正数，求证：ca例1（1）已知x,y?r，且2x?y?

1，求证：?

第55课：§6.2综合法和分析法证明不等式《高中数学学案教学方法的研究》课题组编写 例2已知a>0，b>0，2c>a+b. 求证：c－c2?ab<a<c+c2?ab.

例3若f(x)??x2，a≠b.求证f(a)?f(b)?a?b.

【巩固练习】

1. 设a?3?2,b??5,c?7?6, 则a,b,c大小顺序是

a．a>b>cb．b>c>ac．c>a>bd．a>c>b

2. 设0<a<b,a+b=1,在下列不等式中正确的是

a．b<2ab<a2?b2<a2+b2b．2ab<b<a2+b2<a2?b2

c．2ab<a2+b2<a2?b2<bd．2ab<a2+b2<b<a2?b2

3. a>b>1,p=lgalgb,q=1

2(lga?lgb),r=lg(a?b

2)

a．r<p<qb．p<q<rc．q<p<rd．p<r<q

【本课小结】

【课后作业】

1． 已知：a,b,c为正实数.求证：bc

a?acab

b?c?a?b?c.

11

2． 设x>0,y>0,证明：(x2?y2)2?(x3?y3)3.

3． 已知a＞0,b＞0,且a2+b2

2=1,求证：a?b2≤32

4.

4． 若x、y是正实数,x+y=1，求证：（1+11

x）(1+y)≥9.

- 2-（）（） （）

第五篇：综合法与分析法证明不等式(一)5

2014—2014学年度第二学期高二数学教案选修4-5不等式第5课时

28 江苏省郑梁梅高级中学高二数学教案（理）

主备人：冯龙云做题人: 顾华章审核人: 曾庆亚

不等式的证明—综合法和分析法(1)

一、教学目的：

1、 理解综合法和分析法证明不等式的原理与思维特点；

2、 掌握由学过的基本不等式来证明一些新的不等式。

二、教学重难点：

重难点：综合法和分析法证明不等式

三、教学方法：通过对比，体会两种方法的异同，感受不等式证明中思路、方法的多样性。

四、教学过程：

新课讲授：

综合法证题的思维过程：条件?结论

分析法证题的思维过程：结论?条件

例题讲解：

例1、已知a、b是正数，求证：

例2

例3、已知a、b、m均是正数，且a< b，求证：

ab?≥2 baa?ma> b+mb

例4、已知a 、b、c?r，求证：a?b?c≥ab?bc?ca

例5、已知a 、b、c、d?r，求证： a?b

例6、已知a 、b、c是正数，求证：a?b?c≥3abc并指出等号成立的条件

例7、已知a、b、c是不全相等的正数，且abc?1。求证：a?b?c?

五、课堂练习：

（1）xy?0，求证：xy?333222?22??c2?d2?≥?ac?bd? 2111?? abc1xy???4xyyx

28江苏省郑梁梅高级中学高二数学作业（理）

班级姓名学号_______

1、设x?r下列式子正确的有

（1）、xg(l1)2xg)(l?

（3）、2?（2）、x2?12x?11（4）、?1x??2 x2?1x

a2?b2aba?b22、若a,b?r，且ab?0，则在①?ab②??2③ab??? 2ba2

a?b2a2?b2

④?这四个式子中，恒成立的个数是??22

3、已知a,b,c均大于1，且logac?logbc?4，则下列式子正确的是

（1）、ac?b（2）、ab?c（3）、bc?a（4）、ab?c

4、设m?xcos??ysin??n?xsin??ycos?，比较大小：mn____xy

5、若x?3y-1?0，则2?8的最小值为___________

6、比较大小：lg9?lg11______1

三、简答题：

7、已知a,b,c?r。求证：

8、已知a,b?r且a?b。求证：

?2222xy?bccaab???a?b?c abcab?ba?a?b

9、已知a、b、c是互不相等的实数。求证：

a4?b4?c4?a2b2?b2c2?c2a2?abc(a?b?c)

10、已知a,b,c?r，且abc?1。求证：(1?a)(1?b)(1?c)?8

11、已知a,b,c?r。求证：

12、已知a、b、c均是正数，且a?b?c?1。求证：（1?a)(1-b)(1-c）?8abc

13、已知a、b、c是不全相等的正数。

求证： a(b?c)?b(c?a)?c(b?a)?6abc

222222??b?c-ac?a-ba?b-c???3 abc